Question

已知二階矩陣M有特征值λ=8及對應的一個特征向量

e1

=[

1 1

]，并且矩陣M對應的變換將點（-1，2）變換成（-2，4）．
（1）求矩陣M；
（2）求矩陣M的另一個特征值．

Answer 1

分析：（1）先設矩陣A=

a b c d

，這里a，b，c，d∈R，由二階矩陣M有特征值λ=8及對應的一個特征向量e₁及矩陣M對應的變換將點（-1，2）換成（-2，4）．得到關于a，b，c，d的方程組，即可求得矩陣M；
（2）由（1）知，矩陣M的特征多項式為f（λ）=（λ-6）（λ-4）-8=λ²-10λ+16，從而求得另一個特征值為2．

解答：解：（1）設矩陣A=

a b c d

，這里a，b，c，d∈R，
則

a b c d

 

1   1

=8

1   1

=

8   8

，
故

a+b=8 c+d=8

，
由于矩陣M對應的變換將點（-1，2）換成（-2，4）．
則

a b c d

 

-1    2

=

-2    4

，
故

-a+2b=-2 -c+2d=4

聯立以上兩方程組解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M=

6 2 4 4

．
（2）由（1）知，矩陣M的特征多項式為f（λ）=（λ-6）（λ-4）-8=λ²-10λ+16，
故矩陣M的另一個特征值為2．

點評：本題主要考查了二階矩陣，以及特征值與特征向量的計算，屬于基礎題．