Question

（1）已知某圓的極坐標方程為：ρ2-42ρcos（θ-π4）+6=0．將極坐標方程化為普通方程；并選擇恰當的參數寫出它的參數方程．
（2）已知二階矩陣M有特征值λ=8及對應的一個特征向量e₁=

.

1 1

.

，且矩陣M對應的變換將點（-1，2）變換成
（-2，4）．求矩陣M的另一個特征值及對應的一個特征向量e2的坐標之間的關系．

Answer 1

分析：（1）由題設知x²+y²-4x-4y+6=0，從而得到圓的標準方程和參數方程．
（2）設M=

a b c d

，則

a b c d

1 1

=8

1 1

=

8 8

，故

a+b=8 c+d=8

a b c d

-1 2

=

-2 4

，由此得到M=

6 2 4 4

，從而得到矩陣M的另一個特征值及對應的一個特征向量e2的坐標之間的關系．

解答：解：（1）∵ρ²-4ρ（cosθ+sinθ）+6=0，
∴x²+y²-4（x+y）+6=0；即x²+y²-4x-4y+6=0（4分）
圓的標準方程為：（x-2）²+（y-2）²=2，
∴參數方程為

x=2+ 2 cosα y=2+ 2 sinα

（α為參數） （6分）
（2）設M=

a b c d

，則

a b c d

1 1

=8

1 1

=

8 8

，
故

a+b=8 c+d=8

a b c d

-1 2

=

-2 4

，
故

-a+2b=-2 -c+2d=4

聯立以上兩方程組解得a=6，b=2，c=4，d=4，
故M=

6 2 4 4

．（10分）
∴M的特征多項式為f（λ）=（λ-6）（λ-4）-8=λ²-10λ+16，
∴另一個特征值為λ=2（12分）
設M的另一個特征向量是e2=

x y

，
則Me2=

6x+2y 4x+4y

=2

x y

，
解得：2x+y=0． （14分）

點評：本題考查二階矩陣和圓的極坐標方程、標準方程和參數方程，解題時要認真審題，注意公式的合理運用．