Question

（2012•南寧模擬）已知正四棱錐S-ABCD的側(cè)棱長與底面邊長都相等，E是SB的中點，則AE、SD所成的角的余弦值為

3

3

．

Answer 1

分析：根據(jù)異面直線所成角的定義可得分別取SC，DC，AD邊的中點F，G，H易得EF

∥ .

.

HA故四邊形AEFH為平行四邊形所以AE∥DF，又根據(jù)中點的性質(zhì)可得FG∥SD從而將異面直線轉(zhuǎn)化為了相交直線即∠HFG或其補角即為異面直線AE、SD所成的角然后再利用余弦定理求∠HFG得余弦值即可．

解答：
解：由于正四棱錐S-ABCD的側(cè)棱長與底面邊長都相等故不妨設(shè)棱長為a
取SC的中點F連接EF則EF∥

1

2

BC，取AD的中點H連接HF則可得EF

∥ .

.

HA故四邊形AEFH為平行四邊形所以AE∥HF
再取DC中點G連接HG則FG∥SD所以∠HFG或其補角即為異面直線AE、SD所成的角
∵HF=AE=

3

2

a，F(xiàn)G=

1

2

a，HG=

DH2+DG2

=

2

2

a
∴cos∠HFG=

HF2+FG2- HG2

2HF×FG

=

3

3

＞0
即AE、SD所成的角的余弦值為

3

3

點評：本題主要考查了異面直線所成的角．解題的關(guān)鍵是要緊緊抓住利用平行的傳遞性（通常利用平行四邊形的性質(zhì)或中位線定理）將異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線然后在三角形中利用余弦定理求解（要注意的是利用于余弦值的正負判斷是這個角還是這個角的補角）！