Question

一炮彈在某處爆炸，在F₁(－5000，0)處聽到爆炸聲的時間比在F₂(5000，0)處晚s，已知坐標軸的單位長度為1 m，聲速為340 m/s，爆炸點應在什么樣的曲線上?并求爆炸點所在的曲線方程.

Answer 1

解:由聲速為340 m/s可知F₁、F₂兩處與爆炸點的距離差為340×=6000(m)，因此爆炸點在以F₁、F₂為焦點的雙曲線上.

因為爆炸點離F₁處比F₂處更遠，所以爆炸點應在靠近F₂處的一支上.

設爆炸點P的坐標為(x,y)，則

|PF₁|－|PF₂|=6000，即2a=6000,a=3000.

而c=5000,∴b²=5000²－3000²=4000².

∵|PF₁|－|PF₂|=6000＞0，∴x＞0.

∴所求雙曲線方程為=1(x＞0).

點評:在F₁處聽到爆炸聲比F₂處晚 s，相當于爆炸點離F₁的距離比F₂遠6000 m，這是解應用題的第一關——審題關；根據(jù)審題結合數(shù)學知識知爆炸點所在的曲線是雙曲線，這是解應用題的第二關——文化關(用數(shù)學文化反映實際問題);借助雙曲線的標準方程寫出爆炸點的軌跡方程是解決應用題的第三關——數(shù)學關(用數(shù)學知識解決第二關提出的問題).