Question

一炮彈在某處爆炸，在F₁(-5 000,0)處聽到爆炸聲的時間比在F₂(5 000,0)處晚秒，已知坐標軸的單位長度為1米，聲速為340米/秒，爆炸點應在什么樣的曲線上?并求爆炸點所在的曲線的參數方程.

Answer 1

解析:本題與實際生活緊密相關，主要考查學生能否將所學數學知識應用于實際生活中來解決相關的問題，并注意曲線的普通方程與參數方程之間的關系.

解:由聲速為340米/秒可知F₁、F₂兩處與爆炸點的距離差為340×=6 000米.?

因此爆炸點在以F₁、F₂為焦點的雙曲線上.?

因為爆炸點離F₁處比F₂處更遠，

所以爆炸點D應在靠近F₂處的一支上.?

設爆炸點P的坐標為(x,y)，則PF₁-PF₂=6 000，?

即2a=6 000,a=3 000，而c=5 000，?

∴b²=5 000²-3 000²=4 000².?

又PF₁-PF₂=6 000＞0，?

∴x＞0.?

∴所求的雙曲線方程為=1(x＞0).?

故所求曲線的參數方程為〔θ∈(-,)〕.

點評:在F₁處聽到爆炸聲比F₂處晚秒，相當于爆炸點離F₁的距離比F₂遠6 000米，這是解應用題的第一關——審題關；根據審題結合數學知識知爆炸點所在的曲線是雙曲線，這是解應用題的第二關——文化關(用數學文化反映實際問題)；借助雙曲線的標準方程寫出爆炸點的軌跡方程是解決應用題的第三關——數學關(用數學知識解決第二關提出的問題).