Question

已知數列{a_n}中，a₁=2，a₂=10，對任意n∈N^*有a_n+2=2a_n+1+3a_n成立．
（I）若{a_n+1+λa_n}是等比數列，求λ的值；
（II）求數列{a_n}的通項公式；
（III）證明：

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

＜

2

3

對任意n∈N^*成立．

Answer 1

分析：（I）根據{a_n+1+λa_n}是等比數列，可設a_n+2+λa_n+1=μ（a_n+1+λa_n），拆開與a_n+2=2a_n+1+3a_n比較建立方程組，解之即可求出所求；
（II）根據（I）可分別求出{a_n+1+a_n}與{a_n+2-3a_n+1}的通項公式，將兩通項公式相加即可求出所求；
（III）討論n的奇偶，然后利用放縮法進行證明不等式即可．

解答：（I）解：設a_n+2+λa_n+1=μ（a_n+1+λa_n），則a_n+2=（μ-λ）a_n+1+λμa_n，
令

μ-λ=2 λμ=3

，得

μ=3 λ=1

或者

μ=-1 λ=-3

，即λ=1或λ=-3；
（II）解：由（I）知 a_n+2+a_n+1=3（a_n+1+a_n），而a₂+a₁=12，
故a_n+1+a_n=（a₂+a₁）•3^n-1=12•3^n-1=4•3ⁿ，①
同理a_n+2-3a_n+1=-（a_n+1-3a_n）有a_n+1-3a_n=（a₂-3a₁）•（-1）^n-1=4•（-1）^n-1，②
①-②得  4a_n=4•3ⁿ-4•（-1）^n-1，即a_n=3ⁿ+（-1）ⁿ．
（III）證明：當n=2k（k∈N^*）時，注意到3^2k+1-3^2k-1=2•3^2k-1＞0，于是

1

an

+

1

an+1

=

1

a2k

+

1

a2k+1

=

1

32k+1

+

1

32k+1-1

=

32k+1+32k

(32k+1)(32k+1-1)

=

32k+1+32k

32k•32k+1+32k+1-32k-1

＜

32k+1+32k

32k•32k+1

=

1

32k

+

1

32k+1

．
顯然當n=1時，不等式成立；對于n≥2，
當n為奇數時，

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=

1

a1

+(

1

a2

+

1

a3

)+…+(

1

an-1

+

1

an

)=

1

2

+

1

32

+

1

33

+…+

1

3n-1

+

1

3n

=

1

2

+

3

2

×

1

32

(1-

1

3n-1

)=

1

2

+

1

6

(1-

1

3n-1

)＜

1

2

+

1

6

=

2

3

；
當n為偶數時，

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

＜

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

+

1

an+1

=

1

2

+

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

+

1

3n+1

=

1

2

+

3

2

×

1

32

(1-

1

3n

)=

1

2

+

1

6

(1-

1

3n

)＜

1

2

+

1

6

=

2

3

．
綜上  對任意n∈N^*有

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

＜

2

3

成立．

點評：本題主要考查了數列的通項公式，以及數列與不等式的綜合，同時考查了計算能力和利用放縮法證明不等式，屬于難題．