Question

某汽車生產企業上年度生產一品牌汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價為13萬元/輛，年銷售量為5000輛．本年度為適應市場需求，計劃提高產品檔次，適當增加投入成本，若每輛車投入成本增加的比例為x（0＜x＜1），則出廠價相應提高的比例為0.7x，年銷售量也相應增加．已知年利潤=（每輛車的出廠價-每輛車的投入成本）×年銷售量．
（Ⅰ）若年銷售量增加的比例為0.4x，為使本年度的年利潤比上年度有所增加，則投入成本增加
的比例x應在什么范圍內？
（Ⅱ）年銷售量關于x的函數為y=3240(-x2+2x+

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)，則當x為何值時，本年度的年利潤最大？最大利潤為多少？

Answer 1

（Ⅰ）由題意得：本年度每輛車的投入成本為10×（1+x）；
出廠價為13×（1+0.7x）；年銷售量為5000×（1+0.4x），
因此本年度的利潤為
y=[13×（1+0.7x）-10×（1+x）]×5000×（1+0.4x）
=（3-0.9x）×5000×（1+0.4x）
=-1800x²+1500x+15000（0＜x＜1），
由-1800x²+1500x+15000＞15000得0＜x＜

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（Ⅱ）本年度的利潤為f（x）=（3-0.9x）×3240×（-x²+2x+

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）=3240×（0.9x³-4.8x²+4.5x+5）
則f′（x）=3240×（2.7x²-9.6x+4.5）=972（9x-5）（x-3），
由f′(x)=0，解得x=

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或x=3，
當x∈(0，

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)時，f′(x)＞0，f(x)是增函數；當x∈(

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，1)時，f′(x)＜0，f(x)是減函數．
∴當x=

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時，f(x)取極大值f(

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)=20000萬元，
因為f（x）在（0，1）上只有一個極大值，所以它是最大值，
所以當x=

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時，本年度的年利潤最大，最大利潤為20000萬元．