Question

由函數y=f(x)確定數列{a_n},a_n=f(n),若函數y=f(x)的反函數y=f^-1(x)能確定數列{b_n},b_n=f^-1(n),則稱數列{b_n}是數列{a_n}的“反數列”.

(1)已知函數f(x)=2的反函數為f^-1(x)=(x≥0),則由函數f(x)=2確定的數列{a_n}的反數列為{b_n},求{b_n}的通項公式;不等式++…+≥1-2a對任意的正整數n恒成立,求實數a的范圍;

(2)設函數y=3^x確定的數列為{c_n},{c_n}的反數列為{d_n},{c_n}與{d_n}的公共項組成的數列為{t_n},求數列{t_n}的前n項和S_n.

Answer 1

解:(1)f(x)=2(x≥0)a_n=2(n為正整數),f^-1(x)=(x≥0).

∴數列{a_n}的反數列為{b_n}的通項b_n=(n為正整數).

∵++…+=4［++…+］=4(1),

∴{1}單調遞增.∴當n=1時,{1}的最小值為.

∵1-2a≤2,∴a≥.∴使不等式對于任意正整數n恒成立的a的取值范圍是［,+∞).

(2)設公共項t_k=c_p=d_q(k、p、q為正整數),c_n=3ⁿ,d_n=log₃n.

∴3^p=log₃q,則q=.11分有{c_n}{d_n},t_n=3ⁿ.

∴{t_n}的前n項和S_n=(3ⁿ-1).