Question

在△ABC中，AB=2，AC邊的中線BD=2，cosB=

1

4

．
（1）求AC；
（2）求sinA．

Answer 1

分析：（1）設(shè)BC的中點(diǎn)為E，滿足BE=x，在△BDE中利用余弦定理列式，解出x=

3

2

得BC=3，再在△ABC中利用余弦定理即可解出AC的長(zhǎng)；
（2）△ABC中利用余弦定理算出cosA的值，再利用同角三角函數(shù)的關(guān)系即可算出sinA的值．

解答：解：（1）設(shè)BC的中點(diǎn)為E，則DE=1，設(shè)BE=x．
在△BDE中，BD²=BE²+DE²-2BE•DE•cos∠BED
∴4=x²+1-2x•（-

1

4

），化簡(jiǎn)得2x²+x-6=0
解之得x=

3

2

（舍負(fù)），故BC=3…（4分）
在△ABC中，AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cosB
∴AC²=4+9-2×2×3×

1

4

=10，可得AC=

10

…（8分）
（2）∵在△ABC中，cosA=

AB2+AC2-BC2

2AB•AC

∴cosA=

4+10-9

2×2× 10

=

10

8

…（10分）
故sinA=

1-cosA2

=

3 6

8

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出△ABCr中線AD滿足的條件，求AC邊長(zhǎng)并求A的正弦值．著重考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系、正余弦定理解三角形等知識(shí)，屬于中檔題．