Question

（1）f（x）為一次函數，且f[f（x）]=2x-1，求函數f（x）的解析式．
（2）若函f（x）=lg（ax²-2x+1）的定義域為R，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）運用待定系數法，設一次函數為f（x）=ax+b，代入已知后通過比較系數列方程求出a、b即可
（2）若函數f（x）=lg（ax²-2x+1）的定義域為R，則ax²-2x+1＞0恒成立，根據二次不等式恒成立的條件易得a的范圍

解答：解：（1）解：（1）設f（x）=ax+b，則f（f（x））=a（ax+b）+b=a²x+ab+b
∵f[f（x）]=2x-1，∴a²x+ab+b=2x-1
∴a²=2且ab+b=-1，解得a=

2

，b=1-

2

或a=-

2

，b=1+

2

∴f（x）=

2

x+1-

2

或（x）=-

2

x+1+

2

（2）∵函數f（x）=lg（ax²-2x+1）的定義域為R，
∴ax²-2x+1＞0恒成立
當a=0時，顯然不成立
當a≠0時，

a＞0 △=4-4a＜0

解得a＞1
綜上所述a的取值范圍（1，+∞）

點評：本題考查的知識點是函數解析式的方法--待定系數法，及恒成立問題，難度不大，屬于基礎題