Question

已知定義在R上的函數f（x）=x²-（3-a）x+2（1-a）（其中a∈R）．
（Ⅰ）解關于x的不等式f（x）＞0；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥x-3對任意x＞2恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）比較函數兩零點的大小，利用分類討論思想解不等式問題即可；
（II）利用基本不等式求出函數的最大值，從而求出a的范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=（x-2）[x-（1-a）]，
∴f（x）＞0?（x-2）[x-（1-a）]＞0，
當a＜-1時，不等式的解集為（-∞，2）∪（1-a，+∞）；
當a=-1時，不等式的解集為（-∞，2）∪（2，+∞）；
當a＞-1時，不等式的解集為（-∞，1-a）∪（2，+∞）．
（Ⅱ）不等式f（x）≥x-3，即a≥-

x2-4x+5

x-2

恒成立，
又當x＞2時，-

x2-4x+5

x-2

=-(x-2+

1

x-2

)≤-2（當且僅當x=3時取“=”號），
∴a≥-2．

點評：本題考查利用分類討論思想解不等式，及利用基本不等式求函數的最值．