Question

設有3個投球手，其中一人命中率為q，剩下的兩人水平相當且命中率均為p（p，q∈（0，1）），每位投球手均獨立投球一次，記投球命中的總次數為隨機變量為ξ．
（1）當p=q=

1

2

時，求數學期望E（ξ）及方差V（ξ）；
（2）當p+q=1時，將ξ的數學期望E（ξ）用p表示．

Answer 1

分析：（1）每位投球手均獨立投球一次，每次試驗事件發生的概率相等，判斷符合二項分布，由二項分布的期望和方差公式進行求解即可；
（2）由題意知每位投球手均獨立投球一次，記投球命中的總次數為隨機變量為ξ．因為三個人投球得到最多投入3個，最少0個，得到變量的可能取值，根據相互獨立事件和互斥事件的公式得到概率，從而得到分布列，最后根據數學期望公式解之即可．

解答：解：（1）∵每位投球手均獨立投球一次，
當p=q=

1

2

時，每次試驗事件發生的概率相等，
∴ξ～B（3，

1

2

），由二項分布的期望和方差公式得到結果
∴Eξ=np=3×

1

2

=

3

2

，Dξ=np（1-p）=3×

1

2

×(1-

1

2

)=

3

4

（2）ξ的可取值為0，1，2，3．
P（ξ=0）=（1-q）（1-p）²=pq²；
P（ξ=1）=q（1-p）²+（1-q）C₂¹p（1-p）=q³+2p²q；
P（ξ=2）=qC₂¹p（1-p）+（1-q）p²=2pq²+p³；
P（ξ=3）=qp²．
ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	pq2	q3+2p2q	2pq2+p3	qp2

Eξ=0×pq²+1×（q³+2p²q）+2×（2pq²+p³）+3×qp²=1+p．

點評：本題主要考查了相互獨立事件的概率乘法公式，以及離散型隨機變量的期望與方差和二項分布，屬于中檔題．