Question

如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2，M是PD的中點．

（1）求證：平面ABM⊥平面PCD；
（2）求直線CD與平面ACM所成角的正弦值；
（3）以AC的中點O為球心、AC為直徑的球交PC于點N求點N到平面ACM的距離．

Answer 1

（1）先證明AM⊥平面PCD；（2）；（3）。

試題分析：（1）由底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，解得BP=2=BD
又M在PD上，且BM⊥PD，∴M為BD中點，∴AM⊥PD；
又BA⊥PA，且BA⊥AD，PA∩AD=A，∴BA⊥平面PAD，
∴BA⊥AM，
∵CD⊥AM，PD∩CD=D，∴AM⊥面PCD，
∵AM?平面ABM，
∴平面ABM⊥平面PCD。
（2）建右手系，用向量計算，
平面ACM的一個法向量是n＝（2，－1，1）
所求角的正弦值為
（3）由條件可得AN⊥NC，
所求距離為
點評：中檔題，立體幾何中的垂直、平行關系，是高考常常考查的內容。關于距離的計算通常有兩種思路，一是幾何法，注意“一作、二證、三計算”；二一種思路，是利用空間向量，簡化證明過程。