Question

（本題滿分12分）已知各項均為正數的數列的前項和滿足，且.（1）求的通項公式；（2）設數列滿足，并記為的前項和，比較與 的大小.

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)   

解析:

（Ⅰ）解：由，解得，由假設，因此   又由，

      得 ，

      即  不成立，舍去。

      因此 是公差為3，首項為2的等差數列，故{a_n}的通項為

   （Ⅱ）證法一：由可解得 

從而 

因此   

令     ，則

因 

特別地. 從而，

即 

證法二：同證法一求得b_n及T_n。由二項式定理知. 當c>0時，不等式成立，

由此不等式有

證法三：同證法一求得b_n及T_n

令

從而 

 證法四：同證法一求得b_n及T_n下面用數學歸納法證明：

當n=1時，

因此結論成立，

假設結論當n=k時成立，即

則當n=k+1時，

因

從而這就是說，當n=k+1時結論也成立

綜上成立.