Question

【題目】已知二次函數f（x）=ax2+bx﹣3在x=1處取得極值，且在（0，﹣3）點處的切線與直線2x+y=0平行． （Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數g（x）=xf（x）+4x的單調遞增區間．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=ax2+bx﹣3，可得f′（x）=2ax+b． 由題設可得 即
解得a=1，b=﹣2．
所以f（x）=x2﹣2x﹣3．
（Ⅱ）由題意得g（x）=xf（x）+4x=x3﹣2x2+x，
所以g′（x）=3x2﹣4x+1=（3x﹣1）（x﹣1）．
令g′（x）=0，得 ，x2=1．
所以函數g（x）的單調遞增區間為 ，（1，+∞）
【解析】（Ⅰ）先對函數f（x）求導，令f'（1）=0，f'（0）=﹣2即可得到答案．（Ⅱ）將函數f（x）的解析式代入求出函數g（x）的解析式后求導，令導函數大于0求出x的范圍即可．
【考點精析】利用導數的幾何意義和利用導數研究函數的單調性對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知通過圖像,我們可以看出當點趨近于時，直線與曲線相切．容易知道，割線的斜率是，當點趨近于時，函數在處的導數就是切線PT的斜率k，即；一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．