Question

已知函數f（x）=e^x-ax（e為自然對數的底數）．
（Ⅰ）當a=2時，求曲線f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅲ）已知函數f（x）在x=0處取得極小值，不等式f（x）＜mx的解集為P，若M={x|

1

2

≤x≤2}，且M∩P≠∅，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）a=2時，f（x）=e^x-2x，f（0）=1，f′（x）=e^x-2，得f′（0）=-1，由此能求出曲線y=f（x）在（0，f（0））處的切線方程．
（Ⅱ）由函數f（x）=e^x-ax得到f′（x）=e^x-a，由此根據a的取值范圍進行分類討論，能求出函數f（x）的單調區間．
（Ⅲ）由題意知，f′（0）=0，再由M∩P≠∅，得到不等式f（x）＜mx在[

1

2

 ， 2]上有解，分離參數，求得函數最值，即可得到實數m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當a=2時，f（x）=e^x-2x，f（0）=1，f′（x）=e^x-2，得f′（0）=-1，
所以曲線f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=-x+1．
（Ⅱ）f′（x）=e^x-a．
當a≤0時，f′（x）＞0恒成立，此時f（x）的單調遞增區間為（-∞，+∞），無單調遞減區間；
當a＞0時，x∈（-∞，lna）時，f′（x）＜0，x∈（lna，+∞）時，f′（x）＞0，
此時f（x）的單調遞增區間為（lna，+∞），單調遞減區間為（-∞，lna）．
（Ⅲ）由函數f（x）在x=0處取得極小值，則f′（0）=0得a=1，經檢驗此時f（x）在x=0處取得極小值．
因為M∩P≠∅，
所以f（x）＜mx在[

1

2

 ， 2]上有解，即?x∈[

1

2

 ， 2]使f（x）＜mx成立，
即?x∈[

1

2

 ， 2]使m＞

ex-x

x

成立，
所以m＞(

ex-x

x

)min．
令g(x)=

ex

x

-1，g′(x)=

(x-1)ex

x2

，
所以g（x）在[

1

2

 ， 1]上單調遞減，在[1，2]上單調遞增，
則g（x）_min=g（1）=e-1，
所以m∈（e-1，+∞）．

點評：本題考查函數的切線方程的求法，考查函數的單調性的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想和分類討論思想的合理運用．