Question

已知圓，若橢圓的右頂點為圓的圓心，離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若存在直線，使得直線與橢圓分別交于兩點，與圓分別交于兩點，點在線段上，且，求圓的半徑的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）圓的圓心已知，可求出橢圓方程中的，又橢圓離心率知道根據 可得，故可求出橢圓方程；（2）設出兩點坐標，聯立橢圓方程，用弦長公式將表示成的函數，再將表示成的函數，根據和基本不等式求解.

試題解析：（1）設橢圓的焦距為2c,因為

所以橢圓的方程為。

（2）設，

聯立方程得

所以

則

又點到直線的距離，則

顯然，若點也在線段上，則由對稱性可知，直線就是y軸,與已知矛盾，所以要使,只要，所以

當時，.

當時，3，

又顯然，所以。

綜上，圓的半徑的取值范圍是.

考點：橢圓和直線綜合、點到直線的距離公式、弦長公式、基本不等式.