Question

（本小題滿分13分）如圖所示，直線l與拋物線y²=x交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，與x軸交于點M，且y₁y₂＝－1，

（Ⅰ）求證：點的坐標為；

（Ⅱ）求證：OA⊥OB；

（Ⅲ）求△AOB面積的最小值。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析（Ⅲ）1

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設M（x₀，0），直線l方程為x=my+x₀代入y²=x得

y²-my-x₀=0，y_1。y₂是此方程的兩根

∴ x₀＝－y₁y₂＝1 ①   即M點坐標是（1，0）  （4分）

證明：（Ⅱ）∵ y₁y₂＝－1　∴  x₁x₂+y₁y₂=y₁y₂（y₁y₂+1）=0，

∴  OA⊥OB   （8分）

（Ⅲ）由方程①得y₁＋y₂＝m，y₁y₂＝－1，又|OM|＝x₀＝1，

 ，

 ∴  當m=0時，S_△AOB取最小值1。   （13分）

考點：直線與拋物線位置關系

點評：直線與拋物線位置關系常聯立方程，利用韋達定理求解