Question

設函數f(x)=ax+

x

x-1

(x＞1)，若a是從1，2，3三個數中任取一個數，b是從2，3，4，5四個數中任取一個數，
（1）求f（x）的最小值；
（2）求f（x）＞b恒成立的概率．

Answer 1

（1）x＞1，a＞0，f(x)=ax+

x-1+1

x-1

=ax+

1

x-1

+1…（2分）
=a(x-1)+

1

x-1

+1+a ≥2

a

+1+a=(

a

+1)2，當且僅當 a（x-1）=

1

x-1

 時，等號成立．…（4分）
故f（x）的最小值為 (

a

+1)2．…（6分）
（2）f（x）＞b恒成立就轉化為(

a

+1)2＞b成立．
則所有的基本事件總數為12個，即
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）；
（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；
（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）；…（8分）
設事件 A：“f（x）＞b恒成立”，
事件A包含事件：（1，2），（1，3）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），
（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），共10個．…（10分）
由古典概型得 P(A)=

10

12

=

5

6

．…（12分）