Question

設(shè)函數(shù)f(x)=ax-

b

x

，曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線(xiàn)方程為7x-4y-12=0，
（1）求y=f（x）的解析式，并求其單調(diào)區(qū)間；
（2）用陰影標(biāo)出曲線(xiàn)y=f（x）與此切線(xiàn)以及x軸所圍成的圖形，并求此圖形的面積．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用切線(xiàn)方程，建立方程組，即可求y=f（x）的解析式，從而可得單調(diào)區(qū)間；
（2）作出函數(shù)圖象，可得曲線(xiàn)y=f（x）與此切線(xiàn)以及x軸所圍成的圖形，利用定積分，可求面積．

解答：解：（1）求導(dǎo)函數(shù)，可得f′(x)=a+

b

x2

∵曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線(xiàn)方程為7x-4y-12=0，
∴f′(2)=

7

4

，f（2）=

1

2

∴

a+ b 4 = 7 4 2a- b 2 = 1 2

，∴a=1，b=3
∴f(x)=x-

3

x

，f′(x)=1+

3

x2

∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，0），（0，+∞）；
（2）曲線(xiàn)y=f（x）與此切線(xiàn)以及x軸所圍成的圖形，如圖所示

由7x-4y-12=0，可得y=

7

4

x-3，令y=0，可得x=

12

7

∴陰影部分的面積為

∫

2 12 7

[(

7

4

x-3)-(x-

3

x

)]=（

3

8

x2-3x+3lnx）

|

2 12 7

=-

315

686

+3ln

7

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．