Question

若圓C經過坐標原點和點（6，0），且與直線y=1相切，從圓C外一點P（a，b）向該圓引切線PT，T為切點，
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）已知點Q（2，-2），且|PT|=|PQ|，試判斷點P是否總在某一定直線l上，若是，求出l的方程；若不是，請說明理由；
（Ⅲ）若（Ⅱ）中直線l與x軸的交點為F，點M，N是直線x=6上兩動點，且以M，N為直徑的圓E過點F，圓E是否過定點？證明你的結論．

Answer 1

（Ⅰ）設圓心C（m，n）由題易得m=3----（1分）    
半徑r=|1-n|=

9+n2

，----（2分）
得n=-4，r=5----（3分）     
所以圓C的方程為（x-3）²+（y+4）²=25----（4分）
（Ⅱ）由題可得PT⊥CT----（5分）   
所以|PT|=

|PC|2-|CT|2

=

(a-3)2+(b+4)2-25

-----（6分）
|PQ|=

(a-2)2+(b+2)2

----（7分）
所以

(a-3)2+(b+4)2-25

=

(a-2)2+(b+2)2

整理得a-2b+4=0
所以點P總在直線x-2y+4=0上----（8分）
（Ⅲ）證明：F（-4，0）----（9分）   
由題可設點M（6，y₁），N（6，y₂），
則圓心E(6，

y1+y2

2

)，半徑r=

|y1-y2|

2

----（10分）
從而圓E的方程為(x-6)2+(y-

y1+y2

2

)2=

(y1-y2)2

4

----（11分）
整理得x²+y²-12x-（y₁+y₂）y+36+y₁y₂=0又點F在圓E上，故

FM

•

FN

=0
得y₁y₂=-100----（12分）   
所以x²+y²-12x-（y₁+y₂）y-64=0
令y=0得x²-12x-64=0，----（13分）   
所以x=16或x=-4
所以圓E過定點（16，0）和（-4，0）----（14分）