Question

已知扇形OAB的半徑為1，面積為

π

3

，設弧AB上有異于A，B的動點C，線段OC與線段AB交于點M，N為OM的中點，則∠AOB=

2π

3

；若

ON

=x

OA

+y

OB

(x，y∈R)，則x+y=

1

2

．

Answer 1

分析：由扇形OAB的半徑為1，面積為

π

3

，知

AB

=

π

3

，由此能求出∠AOB．由弧AB上有異于A，B的動點C，線段OC與線段AB交于點M，N為OM的中點，取

AB

的中點為C，利用特值法能求出x+y．

解答：解：∵扇形OAB的半徑為1，面積為

π

3

，
∴

AB

=

π

3

，
∴∠AOB=

2π

3

．
∵弧AB上有異于A，B的動點C，線段OC與線段AB交于點M，N為OM的中點，
∴可以取

AB

的中點為C，
如圖，以OA，OB為鄰邊作平行四邊形AOBP，
連接OP，交AB于M，取OA中點D，取OB中點E，取OD中點F，取OE中點G，
則

ON

=

1

4

OP

=

1

4

OA

+

1

4

OB

，
∵

ON

=x

OA

+y

OB

(x，y∈R)，
∴x+y=

1

2

．
故答案為：

2π

3

，

1

2

．

點評：本題考查圓心角的求法，考查平面向量的基本運算，解題時要認真審題，注意特殊值的合理運用．