Question

在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，向量

m

=（cos 

π

6

，cos（π-A）-1），

n

=（2cos（

π

2

-A），2sin 

π

6

），且

m

⊥

n

（1）求角A的大小．
（2）設(shè)f（x）=cos²x+2sinAsinxcosx，求f（x）的最小正周期，求當(dāng) x ∈[-

π

4

，

π

2

]時(shí)f（x）的值域．

Answer 1

分析：由

m

⊥

n

，知

m

n

=0，所以2sinAcos

π

6

-2cosAsin

π

6

-1=0，由和（差）角公式得到sin（A-

π

6

）=

1

2

，由此能求出角A的大小．
（2）先由二倍解公式把f（x）=cos²x+2sinAsinxcosx等價(jià)轉(zhuǎn)化為f（x）=

1+cos2x

2

+

3

2

sin2x，再由和（差）角公式進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，由此能求出f（x）的最小正周期和當(dāng) x ∈[-

π

4

，

π

2

]時(shí)f（x）的值域．

解答：解：∵

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=0，（1分）
∴cos

π

6

•2cos（

π

2

-A）+[cos（π-A）-1]•2sin

π

6

=0，（2分）
2sinAcos

π

6

-2cosAsin

π

6

-1=0，（3分）
2sin（A-

π

6

）=1，
∴sin（A-

π

6

）=

1

2

．（4分）
∵0＜A＜π，
∴-

π

6

＜A-

π

6

＜

5π

6

，（5分）
∴A-

π

6

=

π

6

∴A=

π

3

，（6分）
（2）f（x）=cos²x+2sinA•sinxcosx
=

1+cos2x

2

+

3

2

sin2x（7分）
=sin（2x+

π

6

）+

1

2

．（8分）
∴T=π，（10分）
∵x∈[-

π

4

，

π

2

]，
∴2x∈[-

π

2

，π]，
∴2x+

π

6

∈[-

π

3

，

7π

6

]，
∴sin(2x+

π

6

)∈[-

3

2

，1]，
∴sin(2x+

π

6

)+

1

2

∈[-

3

2

+

1

2

，

3

2

]．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的綜合運(yùn)用，綜合性強(qiáng)，難度大，容易出錯(cuò)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意二倍角公式、和（差）角公式和三角函數(shù)恒等變換的合理運(yùn)用．