Question

已知數列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=2a_n+3．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）證明{a_n+3}是等比數列 
（Ⅲ）求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分別令n=2，n=3，n=4即可求得；
（Ⅱ）由a_n+1=2a_n+3，得a_n+1+3=2（a_n+3），根據等比數列的定義可作出證明；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，a_n+3=5•2^n-1，變形可得a_n；

解答：（Ⅰ）解：由a_n+1=2a_n+3得，a₂=2a₁+3=7，a₃=2a₂+3=17，a₄=2a₃+3=37；
（Ⅱ）由a_n+1=2a_n+3，得a_n+1+3=2（a_n+3），
又a₁+3=5，知

an+1+3

an+3

=2，
所以數列{a_n+3}是以5為首項，2為公比的等比數列．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，a_n+3=5•2^n-1，
所以a_n=5•2^n-1-3；

點評：本題考查數列遞推式、數列求和、等比數列的定義等知識，考查學生綜合運用知識解決問題的能力．