Question

（2011•杭州一模）設函數f（x）=x-2sinx是區間[t，t+

π

2

]上的增函數，則實數t的取值范圍是（　　）

• A．[2kπ-

  π

  3

  ，2kπ-

  π

  6

  ]（k∈Z）
• B．[2kπ+

  π

  3

  ，2kπ+

  11π

  6

  ]（k∈Z）
• C．[2kπ-

  π

  6

  ，2kπ+

  π

  3

  ]（k∈Z）
• D．[2kπ+

  π

  3

  ，2kπ+

  7π

  6

  ]（k∈Z）

Answer 1

分析：由f（x）=x-2sinx，知f′（x）=1-2cosx，由f′（x）=1-2cosx≥0，得cosx≤

1

2

，故2kπ+

π

3

≤x≤2kπ+

5π

3

，k∈Z，由函數f（x）=x-2sinx是區間[t，t+

π

2

]上的增函數，能求出t的取值范圍．

解答：解：∵f（x）=x-2sinx，
∴f′（x）=1-2cosx，
由f′（x）=1-2cosx≥0，得cosx≤

1

2

，
∴2kπ+

π

3

≤x≤2kπ+

5π

3

，k∈Z，
∵函數f（x）=x-2sinx是區間[t，t+

π

2

]上的增函數，
∴t∈[2kπ+

π

3

，2kπ+

7π

6

]（k∈Z）
故選D．

點評：本題考查利用導數求函數的單調性質的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意三角函數性質的應用．