Question

矩形的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，邊與軸平行，=8，=6.分別是矩形四條邊的中點(diǎn)，是線段的四等分點(diǎn),是線段的四等分點(diǎn).設(shè)直線與,與,與的交點(diǎn)依次為.

（1）以為長(zhǎng)軸，以為短軸的橢圓Q的方程；

（2）根據(jù)條件可判定點(diǎn)都在（1）中的橢圓Q上，請(qǐng)以點(diǎn)L為例，給出證明（即證明點(diǎn)L在橢圓Q上）.

（3）設(shè)線段的（等分點(diǎn)從左向右依次為，線段的等分點(diǎn)從上向下依次為，那么直線與哪條直線的交點(diǎn)一定在橢圓Q上？（寫出結(jié)果即可，此問不要求證明）

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）詳見解析；（3）

【解析】

試題分析：根據(jù)長(zhǎng)軸長(zhǎng),短軸長(zhǎng),可求出橢圓的方程；根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)可寫出直線的方程，同理也可寫出直線的方程，再求出它們的交點(diǎn)的坐標(biāo)，驗(yàn)證在橢圓上即可得證；類比（2）的結(jié)論，即可得到直線與直線的交點(diǎn)一定在橢圓Q上．

試題解析：

根據(jù)題意可知，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，可設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為，

因?yàn)殚L(zhǎng)軸長(zhǎng),短軸長(zhǎng)，所以，

所以所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．

由題意知，

可得直線的方程為，直線的方程為，

聯(lián)立可解得其交點(diǎn)，將的坐標(biāo)代入橢圓方程成立，即點(diǎn)在橢圓上得證．

另法：設(shè)直線、交點(diǎn)，

由三點(diǎn)共線得：                  ①

由三點(diǎn)共線得：             ②

①②相乘，整理可得，即

所以L在橢圓上．

（3）類比（2）的結(jié)論，即可得到直線與直線的交點(diǎn)一定在橢圓Q上．

考點(diǎn)：本題考查了直線的方程，橢圓的方程的求解方法，以及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系．