Question

矩形的中心在坐標原點，邊與軸平行，=8，=6.分別是矩形四條邊的中點，是線段的四等分點,是線段的四等分點.設直線與,與,與的交點依次為.

（1）求以為長軸，以為短軸的橢圓Q的方程；

（2）根據條件可判定點都在（1）中的橢圓Q上，請以點L為例，給出證明（即證明點L在橢圓Q上）.

（3）設線段的（等分點從左向右依次為，線段的等分點從上向下依次為，那么直線與哪條直線的交點一定在橢圓Q上？（寫出結果即可，此問不要求證明）

Answer 1

【答案】

（1）；（2）詳見解析；（3）

【解析】

試題分析：根據長軸長,短軸長,可求出橢圓的方程；根據點的坐標可寫出直線的方程，同理也可寫出直線的方程，再求出它們的交點的坐標，驗證在橢圓上即可得證；類比（2）的結論，即可得到直線與直線的交點一定在橢圓Q上．

試題解析：

根據題意可知，橢圓的焦點在軸上，可設其標準方程為，

因為長軸長,短軸長，所以，

所以所求的橢圓的標準方程為：．

由題意知，

可得直線的方程為，直線的方程為，

聯立可解得其交點，將的坐標代入橢圓方程成立，即點在橢圓上得證．

另法：設直線、交點，

由三點共線得：                  ①

由三點共線得：             ②

①②相乘，整理可得，即

所以L在橢圓上．

（3）類比（2）的結論，即可得到直線與直線的交點一定在橢圓Q上．

考點：本題考查了直線的方程，橢圓的方程的求解方法，以及直線與圓錐曲線的位置關系．