Question

【題目】雙曲線：的左右頂點分別為，，動直線垂直的實軸，且交于不同的兩點，直線與直線的交點為.

（1）求點的軌跡的方程；

（2）過點作的兩條互相垂直的弦，，證明：過兩弦，中點的直線恒過定點.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

(1) 設 則且，再求出直線的方程為，直線的方程為， 再消去即得點的軌跡的方程；

（2）先求出D的中點，的中點， 再證明過兩弦，中點的直線恒過定點.

（1）因為，

設 則且①，

因為動直線交雙曲線于不同的兩點，所以且，

因為直線的方程為②，

直線的方程為③，

②③得，

把①代入上式得，化簡得，

所以點的軌跡的方程為.

（2）依題意得直線與直線斜率均存在且不為0，

設直線的方程為，則直線的方程為，

聯立得，

則，設，

，，

所以的中點，

同理的中點，

所以直線的斜率為，

所以直線的方程為，

整理得，

所以直線恒過定點，即過兩弦中點的直線恒過定點.