Question

已知函數，曲線在處的切線過點.
（Ⅰ）求函數的解析式；
（Ⅱ）當時，求的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）f(x)＝lnx＋; （Ⅱ）f(x)的取值范圍是[1，ln5＋]．

試題分析：（Ⅰ）利用導數的幾何含義確定曲線的切線方程的斜率，然后借助切線過點建立等量關系；（Ⅱ）根據函數的定義域，借助求導分析函數的單調性，進而確定函數的最大值和最小值.
試題解析：（Ⅰ）f¢(x)＝－＝．
則f¢(2)＝，f(2)＝ln2＋．
則曲線y＝f(x)在(2，f(2))處的切線為y＝ (x－2)＋ln2＋，
即y＝x＋m－1＋ln2．                                      3分
依題意，m－1＋ln2＝ln2，所以m＝1．
故f(x)＝lnx＋．                                             5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)＝lnx＋，f¢(x)＝．
當x∈[，1]時，f¢(x)≤0，f(x)單調遞減，此時，f(x)∈[1，2－ln2]；
當x∈[1，5]時，f¢(x)≥0，f(x)單調遞增，此時，f(x)∈[1，ln5＋]．  10分
因為(ln5＋)－(2－ln2)＝ln10－＞lne²－＝，
所以ln5＋＞2－ln2．
因此，f(x)的取值范圍是[1，ln5＋]．                                12分