Question

已知橢圓，且C₁，C₂的公共弦AB過橢圓C₁的右焦點。

（1）求橢圓的焦點坐標及m=0，時的焦點坐標；

（2）當AB⊥x軸時，判斷拋物線C₂的焦點是否在直線AB上；

（3）是否存在m，p的值，使拋物線C₂的焦點恰在直線AB上？若存在，求出符合條件的m，p的值；若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

 

（1）

（2）存在

（3）

【解析】解：（1）橢圓的焦點坐標（-1，0），（1，0）      …………2分

當m=0、 時，

C₂的焦點坐標為，        …………4分

 （2）當AB⊥x軸時，點A、B關于x軸對稱，所以m=0。

      ∵C₁的右焦點坐標為（1，0），∴直線AB的方程為x=1。

∴點A的坐標為，

∵點A在拋物線上，

此時，C₂的焦點坐標為，該焦點不在直線AB上。…………8分

假設存在m，p使拋物線C₁的焦點恰在直線AB上。

（3）由（I）知直線AB的方程為，

由          ①

設A、B的坐標分別為是方程①的兩個根，

由               ②

，

將③代入②，得，③

也是方程③的兩個根，[來源:]

④

又直線AB過C₁，C₂的焦點，

⑤

由④⑤，得

解得

由上可知，滿足條件的m，p存在，且…………13分