Question

（2013•廣州一模）已知橢圓C₁的中心在坐標原點，兩個焦點分別為F₁（-2，0），F₂（2，0），點A（2，3）在橢圓C₁上，過點A的直線L與拋物線C2：x2=4y交于B、C兩點，拋物線C₂在點B，C處的切線分別為l₁，l₂，且l₁與l₂交于點P．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）是否存在滿足|PF₁|+|PF₂|=|AF₁|+|AF₂|的點P？若存在，指出這樣的點P有幾個（不必求出點P的坐標）；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的標準方程及其性質即可得出；
（2）設出點B，C的坐標，利用A，B，C三點共線即可得出坐標之間的關系，利用導數的幾何意義可得切線的斜率，在得出切線的方程，即可得出交點P的坐標代人上面得到的關系式即可得到交點P的軌跡方程．由|PF₁|+|PF₂|=|AF₁|+|AF₂|，則點P在橢圓C₁上，而點P又在直線y=x-3上，直線經過橢圓C₁的內部一點（3，0），即可判斷出其交點個數．

解答：解：（1）設橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由題意可得

22 a2 + 32 b2 =1 a2=b2+4

解得

a2=16 b2=12

．
∴橢圓C₁的方程為

x2

16

+

y2

12

=1；
（2）設點B(x1，

1

4

x

2 1

)，C(x2，

1

4

x

2 2

)，則

BC

=(x2-x1，

1

4

(

x

2 2

-

x

2 1

))，

BA

=(2-x1，3-

1

4

x

2 1

)，
∵A，B，C三點共線，∴

BC

∥

BA

．
∴(x2-x1)(3-

1

4

x

2 1

)=

1

4

(

x

2 2

-

x

2 1

)(2-x1)，化為2（x₁+x₂）-x₁x₂=12．①
由x²=4y，得y′=

1

2

x．∴拋物線C₂在點B處的切線方程為y-

1

4

x

2 1

=

x1

2

(x-x1)，化為y=

x1

2

x-

1

4

x

2 1

．②
同理拋物線C₂在點C處的切線方程為y=

x2

2

x-

1

4

x

2 2

．③
設點P（x，y），由②③得

x1

2

x-

1

4

x

2 1

=

x2

2

x-

1

4

x

2 2

，而x₁≠x₂，∴x=

1

2

(x1+x2)．
代人②得y=

1

4

x1x2，于是2x=x₁+x₂，4y=x₁x₂代人①得4x-4y=12，即點P的軌跡方程為y=x-3．
若|PF₁|+|PF₂|=|AF₁|+|AF₂|，則點P在橢圓C₁上，而點P又在直線y=x-3上，直線經過橢圓C₁的內部一點（3，0），
∴直線y=x-3與橢圓C₁有兩個交點，
∴滿足|PF₁|+|PF₂|=|AF₁|+|AF₂|的點P有兩個（不同于點A）．

點評：本題主要考查橢圓、拋物線曲線的切線等基礎知識，考查數形結合、函數與方程、化歸于轉化的數學數學方法，以及推理論證能力、計算能力、創新意識．