Question

已知函數f（x）=2sinxcosx+2cos²x-1（x∈R），
（I）求函數f（x）的周期和振幅；
（II）求函數f（x）的單調減區間；
（III）函數f（x）的圖象經過怎樣的變換可以得到函數y=sinx的圖象．

Answer 1

分析：（I）利用兩角和的正弦公式即可得到f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)，即可得到振幅和周期；
（II）利用平移變換和伸縮變換的法則即可得出．

解答：解：（I）∵f（x）=sin2x+cos2x=

2

sin(2x+

π

4

)，
∴振幅A=

2

，周期T=

2π

2

=π．
（II）由

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z），解得

π

8

+kπ≤x≤kπ+

5π

8

（k∈Z）．
∴函數f（x）的單調減區間是[

π

8

+kπ，kπ+

5π

8

](k∈Z)；
（III）函數f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)的圖象向右平移

π

8

個單位可得y=

2

sin[2(x-

π

8

)+

π

4

]=

2

sin2x，
再將其橫坐標變為原來的2倍變為y=

2

sinx，將其縱坐標縮小為原來的

1

2

（橫坐標不變）得到y=sinx．

點評：熟練掌握兩角和的正弦公式、振幅和周期公式、平移變換和伸縮變換的方法是解題的關鍵．．