Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c，當x∈（-∞，-2）∪（0，+∞）時f（x）＞0，當x∈（-2，0）時，f（x）＜0且對任意x∈R，不等式f（x）≥（a-1）x-1恒成立．（1）求函數f（x）的解析式；（2）f（x）＞m恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據題意得到ax²+bx+c=0的兩個根為-2和0，可求出a與b的關系以及c的值，然后根據對任意x∈R，不等式f（x）≥（a-1）x-1恒成立建立不等關系，解之即可；
（2）欲使f（x）＞m恒成立，即使f（x）_min＞m即可，然后求出f（x）的最小值即可．

解答：解：（1）∵二次函數f（x）=ax²+bx+c，當x∈（-∞，-2）∪（0，+∞）時f（x）＞0，當x∈（-2，0）時，f（x）＜0
∴ax²+bx+c=0的兩個根為-2和0
將-2和0代入方程ax²+bx+c=0可得c=0，b=2a
∵對任意x∈R，不等式f（x）≥（a-1）x-1恒成立
∴ax²+2ax≥（a-1）x-1恒成立
即ax²+（a+1）x+1≥0恒成立
∴

a＞0 △=(a+1)2-4a≤0

解得a=1，b=2
∴f（x）=x²+2x
（2）∵f（x）＞m恒成立，
∴f（x）_min=-1＞m
即m的取值范圍（-∞，-1）

點評：本題主要考查了函數恒成立問題，以及二次函數的性質，同時考查了等價轉化的思想和計算能力，屬于中檔題．