Question

要設計一張矩形廣告牌，該廣告牌含有大小相等的左右兩個矩形欄目（即圖中陰影部分），這兩欄的面積之和為24500cm²四周空白的寬度為10cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm，怎樣確定廣告牌的高與寬的尺寸（單位：cm），能使矩形廣告牌面積最小？并求出最小面積．

Answer 1

【答案】分析：設矩形欄目的高為acm，寬為bcm，則ab=12250①；且廣告牌的高為a+20，寬為2b+25，廣告牌的面積S=（a+20）（2b+25）②；由①②可以求得，S取最小值時a、b的值；和對應的廣告牌高與寬的尺寸．
解答：解：設矩形欄目的高為acm，寬為bcm，則ab=12250①；
廣告牌的高為a+20，寬為2b+25，其中a＞0，b＞0，
廣告牌的面積S=（a+20）（2b+25）=2ab+40b+25a+500=25000+40b+25a≥=32000，
當且僅當25a=40b時，等號成立，此時，代入①式，得a=140，∴b=87.5；
即當a=140，b=87.5．時，S取得最小值32000；
故廣告牌的高為160cm，寬為200cm時，可使廣告牌的面積最小，最小值為32000cm²．
點評：本題利用矩形的面積公式作載體，考查了基本不等式a+b≥2（a＞0，b＞0）的應用，是基礎題．