Question

將一枚硬幣連續(xù)拋擲15次，每次拋擲互不影響．記正面向上的次數(shù)為奇數(shù)的概率為P₁，正面向上的次數(shù)為偶數(shù)的概率為P₂．
（Ⅰ）若該硬幣均勻，試求P₁與P₂；
（Ⅱ）若該硬幣有暇疵，且每次正面向上的概率為p(0＜p＜

1

2

)，試比較P₁與P₂的大小．

Answer 1

分析：（I）正面向上的次數(shù)為奇數(shù)和正面向上的次數(shù)為偶數(shù)的是對立事件，只要做出其中一個就可以，先做出正面向上的次數(shù)是奇數(shù)的概率，包括正面向上的次數(shù)是1，3，5，7，9，11，13，15，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式寫出結(jié)果，得到兩個事件的概率．
（II）表示出兩個事件的概率，用p表示，要比較兩個事件的概率的大小，只要把兩個事件的概率做差即可，整理成最簡形式，根據(jù)所給的概率的范圍，得到結(jié)果．

解答：解：（Ⅰ）拋硬幣一次正面向上的概率為P=

1

2

，
∴正面向上的次數(shù)為奇數(shù)次的概率為P₁=P₁₅（1）+P₁₅（3）+…+P₁₅（15）
=

C

1 15

(

1

2

)1(

1

2

)14+

C

3 15

(

1

2

)3(

1

2

)12++

C

15 15

(

1

2

)5=

1

2

∴P2=1-P1=

1

2

（Ⅱ）∵P₁=C₁₅¹p¹（1-p）¹⁴+C₁₅³p³（1-p）¹²+…+C₁₅¹⁵p¹⁵，
P₂=C₁₅⁰p⁰（1-p）¹⁵+C₁₅²p²（1-p）¹³+…+C₁₅¹⁴p¹⁴（1-p）¹
則P₂-P₁=C₁₅⁰p⁰（1-p）¹⁵-C₁₅¹p¹（1-p）¹⁴+C₁₅²p²（1-p）¹³+…+C₁₅¹⁴p¹⁴（1-p）¹-C₁₅¹⁵p¹⁵
=[（1-p）-p]¹⁵
=（1-2p）¹⁵，
而0＜p＜

1

2

，
∴1-2p＞0，
∴P₂＞P₁

點(diǎn)評：本題考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式，考查比較兩個式子大小，運(yùn)算量比較大，是一個主要考查運(yùn)算能力的問題．