Question

在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，且C=

π

3

，a+b=λc，（其中λ＞1）．
（Ⅰ）若c=λ=2時，求

AC

•

BC

的值；
（Ⅱ）若

AC

•

BC

=

1

6

（λ⁴+3）時，求邊長c的最小值及判定此時△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理化簡a+b=λc，然后把λ與sinC的值代入，利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值即可得到一個角的正弦函數值，根據特殊角的三角函數值即可得到B的度數，進而得到此三角形為邊長為2的等邊三角形，然后由a=b=2，cosC=cos

π

3

，利用平面向量的數量積得運算法則，即可求出

AC

•

BC

的值；
（Ⅱ）由cosC的值，根據余弦定理即可得到c的平方與a+b和ab之間的關系式，根據平面向量的數量積的運算法則，由若

AC

•

BC

=

1

6

（λ⁴+3），即可表示出ab，又a+b=λc，代入得到的關系式中，利用基本不等式即可求出c的最小值，進而求出此時λ的值，得到a+b和ab的值，聯立即可求出a與b的值，根據勾股定理的逆定理即可判斷出△ABC為直角三角形．

解答：解：（Ⅰ）∵a+b=λc由正弦定理得：sinA+sinB=λsinC，
又∵λ=2，C=

π

3

?sinB+sin(

2π

3

-B)=

3

?sin(B+

π

6

)=1，
∴B=

π

3

，根據c=2，得到△ABC為邊長為2的等邊三角形，
∴

AC

•

BC

=abcosC=2；
（Ⅱ）由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab，
由

AC

•

BC

=

1

6

(λ4+3)?ab=

1

3

(λ4+3)，又a+b=λc，
∴c2=λ2c2-(λ4+3)?c2=

λ4+3

λ2-1

=(λ2-1)+

4

λ2-1

+2≥6
∴cmin=

6

當且僅當λ=

3

時取等號．此時c=

6

，ab=4，a+b=3

2

，
∴

a= 2 b=2 2 c= 6

或

a=2 2 b= 2 c= 6

，
∴△ABC為直角三角形．

點評：此題考查學生靈活運用正弦、余弦定理化簡求值，靈活運用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡求值，會利用基本不等式求函數的最小值，靈活運用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀，是一道中檔題．