Question

已知點M（1，2），函數C1：y=x2+1，過點M作C₁的切線l，
（1）求切線l的方程；
（2）把函數C₁的圖象向下平移1個單位得到曲線C₂，求l與曲線C₂圍成圖形的面積．

Answer 1

分析：（1）求出導數和切線的斜率，代入直線的點斜式方程，再化為一般式即可；
（2）由圖象平移求出C2：y=x2，再聯立方程求出交點的橫坐標，由定積分求出圍成圖形的面積．

解答：解：（1）由題意知M（1，2）在y=x²+1上，且 y′=2x，
∴k_l=f′（1）=2，
∴切線的方程是y-2=2（x-1），即2x-y=0，
∴切線l的方程為2x-y=0，
（2）y=x²+1向下平移1個單位得到C2：y=x2，
由

y=x2 y=2x

得，x=0或x=2，
∴l與C₂圍成圖形面積是：
S=

∫

2 0

(2x-x2)dx

=(x2- x3 3 )|

2 0

=22-

8

3

=

4

3

．

點評：本題考查了導數的幾何意義和直線方程，以及利用定積分知識求不規則圖形的面積，屬于中檔題．