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例3．已知m，n∈R*，|
a
|＜1，|
b
|＜1，求證：|
ma
+
nb
|＜m+n.
分析：根據向量的性質兩個向量的模的差小于等于兩個向量和的模小于等于兩個向量模的和，注意等號成立的條件．
解答：解：∵m，n∈R*，|
a
|＜1，|
b
|＜1
由向量的性質得到：|
ma
+n
b
|≤|m
a
|+|n
b
|
=m|
a
|+n|
b
|＜m+n，
∴原不等式成立．
點評：本題是從向量大小的角度來解決問題，大小和方向是向量的兩個要素，分別是向量的代數特征和幾何特征，借助于向量可以實現某些代數問題與幾何問題的相互轉化．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

對于定義域為D的函數y=f（x），如果存在區間[m，n]⊆D，同時滿足：
①f（x）在[m，n]內是單調函數；
②當定義域是[m，n]時，f（x）的值域也是[m，n]．則稱[m，n]是該函數的“和諧區間”．
（1）求證：函數y=g(x)=3-
5
x
不存在“和諧區間”．
（2）已知：函數y=
(a2+a)x-1
a2x
（a∈R，a≠0）有“和諧區間”[m，n]，當a變化時，求出n-m的最大值．
（3）易知，函數y=x是以任一區間[m，n]為它的“和諧區間”．試再舉一例有“和諧區間”的函數，并寫出它的一個“和諧區間”．（不需證明，但不能用本題已討論過的y=x及形如y=
bx+c
ax
的函數為例）

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科目：高中數學 來源：江蘇期末題 題型：解答題

對于定義域為D的函數y=f（x），如果存在區間[m，n]D，同時滿足：
①f（x）在[m，n]內是單調函數；
②當定義域是[m，n]時，f（x）的值域也是[m，n]．則稱[m，n]是該函數的“和諧區間”．
（1）求證：函數不存在“和諧區間”．
（2）已知：函數（a∈R，a≠0）有“和諧區間”[m，n]，當a變化時，求出n﹣m的最大值．
（3）易知，函數y=x是以任一區間[m，n]為它的“和諧區間”．試再舉一例有“和諧區間”的函數，并寫出它的一個“和諧區間”．（不需證明，但不能用本題已討論過的y=x及形如的函數為例）

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科目：高中數學 來源：2011年上海市虹口區高考數學三模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

對于定義域為D的函數y=f（x），如果存在區間[m，n]⊆D，同時滿足：
①f（x）在[m，n]內是單調函數；
②當定義域是[m，n]時，f（x）的值域也是[m，n]．則稱[m，n]是該函數的“和諧區間”．
（1）求證：函數不存在“和諧區間”．
（2）已知：函數（a∈R，a≠0）有“和諧區間”[m，n]，當a變化時，求出n-m的最大值．
（3）易知，函數y=x是以任一區間[m，n]為它的“和諧區間”．試再舉一例有“和諧區間”的函數，并寫出它的一個“和諧區間”．（不需證明，但不能用本題已討論過的y=x及形如的函數為例）

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科目：高中數學 來源：2011年上海市虹口區高考數學二模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

對于定義域為D的函數y=f（x），如果存在區間[m，n]⊆D，同時滿足：
①f（x）在[m，n]內是單調函數；
②當定義域是[m，n]時，f（x）的值域也是[m，n]．則稱[m，n]是該函數的“和諧區間”．
（1）求證：函數不存在“和諧區間”．
（2）已知：函數（a∈R，a≠0）有“和諧區間”[m，n]，當a變化時，求出n-m的最大值．
（3）易知，函數y=x是以任一區間[m，n]為它的“和諧區間”．試再舉一例有“和諧區間”的函數，并寫出它的一個“和諧區間”．（不需證明，但不能用本題已討論過的y=x及形如的函數為例）

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