Question

對于定義域為D的函數y=f（x），如果存在區間[m，n]D，同時滿足：
①f（x）在[m，n]內是單調函數；
②當定義域是[m，n]時，f（x）的值域也是[m，n]．則稱[m，n]是該函數的“和諧區間”．
（1）求證：函數不存在“和諧區間”．
（2）已知：函數（a∈R，a≠0）有“和諧區間”[m，n]，當a變化時，求出n﹣m的最大值．
（3）易知，函數y=x是以任一區間[m，n]為它的“和諧區間”．試再舉一例有“和諧區間”的函數，并寫出它的一個“和諧區間”．（不需證明，但不能用本題已討論過的y=x及形如的函數為例）

Answer 1

解：（1）設[m，n]是已知函數定義域的子集．
∵x≠0，
∴[m，n]（﹣∞，0）或[m，n]（0，+∞）
故函數在[m，n]上單調遞增．
若[m，n]是已知函數的“和諧區間”，則
故m、n是方程的同號的相異實數根．
∵x²﹣3x+5=0無實數根，
∴函數不存在“和諧區間”．
（2）設[m，n]是已知函數定義域的子集．
∵x≠0，
∴[m，n]（﹣∞，0）或[m，n]（0，+∞）
若[m，n]是已知函數的“和諧區間”，
則
故m、n是方程，
即a²x﹣（a²+a）x+1=0的同號的相異實數根．
∵，
∴m，n同號，只須△=a²（a+3）（a﹣1）＞0，即a＞1或a＜﹣3時，已知函數有“和諧區間”[m，n]，
∵，
∴當a=3時，n﹣m取最大值
（3）如：y=﹣x+2和諧區間為、[0，2，]，[﹣1，3，]，當a+b=2的區間[a，b]；
和諧區間為[0，，1]，和諧區間為[﹣1，0，]