Question

對于定義域為D的函數f（x），若存在區間M=[a，b]⊆D（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，則稱區間M為函數f（x）的“等值區間”．給出下列三個函數：
①f(x)=(

1

2

)x；   ②f（x）=x³；    ③f（x）=log₂x+1
則存在“等值區間”的函數的個數是

2

．

Answer 1

分析：根據“等值區間”的定義，要想說明函數存在“等值區間”，只要舉出一個符合定義的區間M即可，但要說明函數沒有“等值區間”，可以用反證明法來說明．由此對四個函數逐一進行判斷，即可得到答案．

解答：解：①對于函數f(x)=(

1

2

)x，若存在“等值區間”[a，b]，由于函數是定義域內的減函數，故有(

1

2

)b=a，(

1

2

)a=b，即（a，b），（b，a）點均在函數圖象上，且兩點關于y=x對稱，兩點只能同時是函數f(x)=(

1

2

)x，與函數y=log

1

2

x圖象的唯一交點．即只能是a=b，故①不存在“等值區間”．
②對于函數f（x）=x³存在“等值區間”，如 x∈[0，1]時，f（x）=x³∈[0，1]．
③對于 f（x）=log₂x+1，由于函數是定義域內的增函數，故在區間[1，2]上有f（1）=1，f（2）=2，所以函數存在“等值區間”[1，2]．
存在“等值區間”的函數的個數是2個
故答案為：2

點評：本題給出函數“穩定區間”的概念，要我們在幾個函數中找出存在“穩定區間”函數的個數．著重考查了基本初等函數的圖象與性質、函數的定義域與值域等知識，屬于中檔題．