Question

已知實系數二次函數f（x）=ax²+bx+c對任何-1≤x≤1，都有|f（x）|≤1．
（1）若f（x）=2x²-1，g′（x）=f（x），且g（0）=0，數列{a_n}滿足a_n=g（a_n-1），問數列{a_n}能否構成等差數列，若能，請求出滿足條件的所有等差數列；若不能，請說明理由；
（2）求|a|+|b|+|c|的最大值．

Answer 1

分析：（1）設g（x）=dx³+ex²+hx+k，則g′（x）=3dx²+2ex+h=2x²-1，所以d=

2

3

，e=0，h=-1，由g（0）=0，知，g(x)=

2

3

x3-x．由此能求出求出滿足條件的所有等差數列．
（2）f（0）=c，f（1）=a+b+c，f（-1）=a-b+c，三者都屬于[-1，1]，設w=|a|+|b|+|c|，不妨設a＞0，再進行分類討論能求出|a|+|b|+|c|的最大值．

解答：解：（1）設g（x）=dx³+ex²+hx+k，
則g′（x）=3dx²+2ex+h=2x²-1，
∴3d=2，2e=0，h=-1，
∴d=

2

3

，e=0，h=-1，
又g（0）=0，
∴k=0，
∴g(x)=

2

3

x3-x，
若數列{a_n}構成等差數列，
可設a_n=un+v，u，v為常數，
∵a_n=g（a_n-1），
∴a_n+1=g（a_n），
∴v+u(n+1)=

2

3

(un+v)3-(un+v)（*），
當u=0時，（*）簡化為v=

2

3

v3-v，
由此解得：u=0，v=o，±

3

，
所以數列{a_n}能構成等差數列：
①0，0，0，…；②

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，

3

，

3

，…；③-

3

，-

3

，-

3

．（4分）
（2）f（0）=c，
f（1）=a+b+c，
f（-1）=a-b+c，
三者都屬于[-1，1]，
設w=|a|+|b|+|c|，不妨設a＞0，
①b，c≥0時，w=a+b+c=f（1）＜=1；
②b，c＜0時，w=a-b-c=f（-1）-2f（0）≤3；
③b≥0＞c時，w=a+b-c=f（1）-2f（0）≤3；
④c≥0＞b時，w=a-b+c=f（-1）≤1．
當a=2，b=0，c=-1時f（x）=2x²2-1滿足題設，w=3．
∴所求最大值為3．

點評：本題考查數列與函數的綜合應用，對數學思維的要求比較高，要求學生理解“存在”、“恒成立”，以及運用一般與特殊的關系進行否定，本題有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．解題時要認真審題，注意計算能力的培養．