Question

已知二次函數f（x）的二次項系數為a，滿足不等式f（x）＞-2x的解集為（1，3），且方程f（x）+6a=0有兩個相等實根，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析：依據不等式f（x）＞-2x的解集為（1，3），可設函數f（x）-2x的解析式為f（x）+2x=a（x-1）（x-3），得出f（x）的解析式．再利用f（x）+6a=0有兩個相等的實數根，通過△=0求出a的值最后代入f（x）即可得出答案．

解答：解：∵f（x）與f（x）+2x的二次項系數相等，
∴f（x）+2x的二次項系數為a．
又∵f（x）+2x＞0的解集為（1，3），
∴設f（x）+2x=a（x-1）（x-3）（a＜0），
∴f（x）=a（x²-4x+3）-2x=ax²-（4a+2）x+3a．
∵方程f（x）+6a=0有兩個相等實根
∴ax²-（4a+2）x+9a=0有兩個相等實根．
∴[-（4a+2）]²-36a²=0，解得a=1（舍去），a=-

1

5

∴f(x)=-

1

5

x2-

6

5

x-

3

5

點評：本題主要考查用待定系數法求函數解析式的問題．屬基礎題．