Question

給出冪函數①f（x）=x；②f（x）=x²；③f（x）=x³；④f（x）=

x

；⑤f（x）=

1

x

．其中滿足條件f(

x1+x2

2

)＞

f(x1)+f(x2)

2

（x₁＞x₂＞0）的函數的個數是

 

．

Answer 1

分析：對于①②分別求出平均數的函數值與函數值的平均數，比較出大�。粚τ冖邰堍荩�有圖象的上凸和下凸，畫出圖，比較出兩者的大�。�

解答：解：對于①有f(

x1+x2

2

)=

x1+x2

2

，

f(x1)+f(x2)

2

=

x1+x2

2

所以f(

x1+x2

2

)= 

f(x1)+f(x2)

2

，故不滿足；
對于②f(

x1+x2

2

)=

x12+2x1x2+x22

4

，

f(x1)+f(x2)

2

=

x12+x22

2

，
∴

f(x1)+f(x2)

2

-f(

x1+x2

2

)=

x12-2x1x2+x22

4

＞0，故不滿足；
對于③，其圖象在第一象限的圖象是向下凸的，所以有

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)，不滿足條件；
對于④，其圖象在第一象限是上凸的，所以有

f(x1)+f(x2)

2

＜f(

x1+x2

2

)，滿足條件；
對于⑤，其圖象在第一象限的圖象是向下凸的，所以有

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)不滿足條件；
故答案為1

點評：本題考查冪函數的圖象、考查結合圖象的上凸還是下凸，判斷出平均數的函數值與函數值的平均數的大�。�