Question

【題目】已知橢圓E：1（a＞0）的中心為原點O，左、右焦點分別為F1、F2，離心率為，點P是直線x上任意一點，點Q在橢圓E上，且滿足0．

（1）試求出實數a；

（2）設直線PQ與直線OQ的斜率分別為k1與k2，求積k1k2的值；

（3）若點P的縱坐標為1，過點P作動直線l與橢圓交于不同的兩點M、N，在線段MN上取異于點M、N的點H，滿足，證明點H恒在一條定直線上．

Answer 1

【答案】（1）a＝3（2）（3）證明見解析

【解析】

（1）根據橢圓的離心率列方程求出實數a的值；

（2）由（1）可設點P（，t），Q（x0，y0），根據0得出再由點Q在橢圓E上得出，用斜率公式及可求出k1k2的值；

（3）設過P（，1）的直線l與橢圓交于兩個不同點M（x1，y1），N（x2，y2），

點H（x，y），代入橢圓方程得出，，再設λ，即，，代入數據整理即可得出點H恒在一條定直線上．

（1）解：設橢圓E的半焦距為c，

由題意可得，解得a＝3；

（2）解：由（1）可知，直線x，點F1（，0）．

設點P（，t），Q（x0，y0），

∵0，∴（，﹣t）（x0，﹣y0）＝0，

得．

∵點Q（x0，y0）在橢圓E上，∴，即．

∴k1k2，

∴k1k2的值是；

（3）證明：設過P（，1）的直線l與橢圓交于兩個不同點M（x1，y1），

N（x2，y2），點H（x，y），則，，

設λ，則，，

∴（x1，y1﹣1）＝λ（x2，y2﹣1），（x﹣x1，y﹣y1）＝λ（x2﹣x，y2﹣y），

整理得，x，1，y，

從而，y，

由于，，

∴9y36．

∴點H恒在直線．