Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的導函數為f′（x），且f（-x）=f（x），f（1）=1，f′（-1）=-2．數列{a_n}滿足a₁=1，且當n≥2，n∈N^*時，a_n=n²[++…+]．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）當n≥2且n∈N^*時，比較與的大�。�
（3）比較（1+）（1+）（1+）L（1+）與4的大�。�

Answer 1

解：（1）∵f（x）=ax²+bx+c，∴由f（-x）=f（x），有b=0，得f（x）=ax²+c．又f（1）=1，f′（-1）=-2，∴a+c=1，2a×（-1）=-2，∴a=1，c=0，∴f（x）=x²．
（2）∵f（n）=n²，∴．，∴，，∴．
（3）由題意可得a₂=4；當n=1時，有．當n≥2且n∈N^*時，
（1+）（1+）（1+）L（1+）=4（）
所以，對任意n∈N^*有（1+）（1+）（1+）L（1+）＜4．
分析：（1）利用由f（-x）=f（x），有b=0，從而f（x）=ax²+c，f（1）=1，f′（-1）=-2，可求a、c的值，從而可求函數表達式；
（2）分別表示出分子、分母，進而可得；
（3）將連乘積表示為（1+）（1+）（1+）L（1+）=，再用裂項求和法，利用可得結論．
點評：本題考查數列與不等式的結合，考查裂項求和、放縮法，有一定的技巧．