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已知O，N，P在△ABC所在平面內，且|
OA
|=|
OB
|=|
OC
|，
NA
+
NB
+
NC
=0，且
PA
•
PB
=
PB
•
PC
=
PC
•
PA
，則點O，N，P依次是△ABC的
③
③
．
①重心 外心 垂心   ②重心 外心 內心   ③外心 重心 垂心   ④外心 重心 內心．
分析：據O到三角形三個頂點的距離相等，得到O是三角形的外心，根據所給的四個選項，第一個判斷為外心的只有③④兩個選項，只要判斷第三個條件可以得到三角形的什么心就可以，移項相減，得到垂直，即得到P是三角形的垂心．
解答：證明：∵|
OA
|=|
OB
|=|
OC
|，
∴O到三角形三個頂點的距離相等，
∴O是三角形的外心，
根據
NA
+
NB
+
NC
=0時，得-
NA
=
NB
+
NC
，
由平行四邊形法則可得N點在BC的中線上，
同理可得N也在AB，AC的中線上，故N為△ABC的重心；
下面判斷第三個條件可以得到三角形的什么心，
∵
PA
•
PB
=
PB
•
PC
=
PC
•
PA
，
∴
PB
(
PA
-
PC
)=0，
∴
PB
•
CA
=0，
∴
PB
⊥
CA
，
同理得到另外兩個向量都與邊垂直，
得到P是三角形的垂心，
故答案為：③．
點評：本小題主要考查向量的數量積的運算法則、三角形五心等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想，本題是一個考查的向量的知識點比較全面的題目，把幾種三角形的心總結的比較全面，解題時注意向量的有關定律的應用，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知O、N、P在△ABC所在的平面內，且|
OA
|=|
OB
|=|
OC
|，
PA
•
PB
=
PB
•
PC
=
PC
•
PA
，
NA
+
NB
+
NC
=
0
，則點O、P、N依次是△ABC的（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知O，N，P在△ABC所在平面內，且|
OA
|=|
OB
|=|
OC
|，
NA
+
NB
+
NC
=
0
，且
PA
•
PB
=
PB
•
PC
=
PC
•
PA
，則點O，N，P依次是△ABC的（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2009寧夏海南卷理）已知O，N，P在所在平面內，且，且，則點O，N，P依次是的                                                (   )

A.重心 外心 垂心                     B.重心 外心 內心  

C.外心 重心 垂心                     D.外心 重心 內心

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科目：高中數學 來源：2014屆山東省高一下學期期中考試數學試卷（解析版） 題型：選擇題

已知O，N，P在△ABC所在平面內，且||＝||＝||，＋＋＝0，且·＝·＝·，則點O，N，P依次是△ABC的(　　)

A．重心　外心　垂心

B．重心　外心　內心

C．外心　重心　垂心

D．外心　重心　內心

 

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科目：高中數學 來源：2010屆高三數學每周精析精練：平面向量 題型：選擇題

 已知O，N，P在所在平面內，且，且，則點O，N，P依次是的

     （A）重心 外心 垂心   （B）重心 外心 內心  

（C）外心 重心 垂心   （D）外心 重心 內心

（注：三角形的三條高線交于一點，此點為三角型的垂心）

 

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