【題目】已知函數
．
（1）求函數
的單調區間；
（2）已知
且
，若函數沒有零點，求證：
．
【答案】(1)見解析 (2)證明見解析
【解析】
(1)求導后分
和
兩種情況進行討論即可.
(2)由題函數
沒有零點,轉換為
與
在
無交點,再求導分析
的單調性與最值,進而求得
的取值范圍.再代入
,構造函數分析單調性與最值證明即可.
解法一：（1）
當時，令
得
或
；
令
得
．
∴函數的單調遞增區間為
和
，
單調遞減區間為
當時，令得；
令得或．
∴函數的單調遞增區間為，
單調遞減區間為和.
綜上所述,當時，函數的單調遞增區間為和，單調遞減區間為；當時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為和.
（2）函數在時無零點，即
在無解
則與在無交點
，在上單調遞增
，∴
則
由（1）得在上單調遞增
要證
即證 
即證 
即證 
令
在時單調遞增，
所以原不等式成立．
解法二：（1）同解法一
（2）函數在時無零點，即在無解
則與在無交點
，在上單調遞增
，∴
則
要證，
即證，
即證
因為
，
所以只需證 
，
即證 
，
令 
，
在時單調遞增，
，
所以原不等式成立．
每課必練系列答案
巧學巧練系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知有窮數列
共有
項
，首項
,設該數列的前
項和為
，且
其中常數
.
（1）求證：數列是等比數列
（2）若
，數列
滿足
，求出數列的通項公式
（3）若（2）中的數列滿足不等式
，求出
的值
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平行四邊形
中，
，
，過
點作
的垂線，交的延長線于點
，
.連結
，交
于點
，如圖1，將
沿折起，使得點到達點
的位置，如圖2.
（1）證明：平面
平面
；
（2）若
為
的中點，
為的中點，且平面
平面，求三棱錐
的體積.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知某超市2018年12個月的收入與支出數據的折線圖如圖所示：
根據該折線圖可知，下列說法錯誤的是（ ）
A. 該超市2018年的12個月中的7月份的收益最高
B. 該超市2018年的12個月中的4月份的收益最低
C. 該超市2018年1-6月份的總收益低于2018年7-12月份的總收益
D. 該超市2018年7-12月份的總收益比2018年1-6月份的總收益增長了90萬元
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知橢圓
的長軸
，長為4，過橢圓的右焦點
作斜率為
（
）的直線交橢圓于
、
兩點，直線
，
的斜率之積為
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）已知直線
，直線
，
分別與
相交于
、
兩點，設
為線段
的中點，求證：
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，橢圓
的離心率是
，左右焦點分別為
，
，過點
的動直線
與橢圓相交于
，
兩點，當直線過時，
的周長為
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）當
時，求直線方程；
（3）已知點
，直線
，
的斜率分別為
，
.問是否存在實數
，使得
恒成立？
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