Question

下列四個命題：
①p：m＜-2或m＞6；q：y=x²+mx+m+3有兩個不同的零點．
②p：

f(-x)

f(x)

=1；q：y=f（x）是偶函數．
③p：cosα=cosβ；q“tanα=tanβ．
④p：A∩B=A； q：?_UB⊆?_UA    
其中，p是q的充要條件的命題序號是

①④

．

Answer 1

分析：①二次函數f（x）=0有兩個不同的零點?△＞0，解出即可判斷出；
②充分理解函數具有奇偶性，其定義域關于原點對稱，即可判斷出；
③舉出反例即可；
④利用集合間的關系即可判斷出．

解答：解：①q：y=x²+mx+m+3有兩個不同的零點?△=m²-4（m+3）＞0?m＜-2或m＞6．因此p是q的充要條件，故①正確；
②由p：

f(-x)

f(x)

=1，可得f（-x）=f（x），但是由f（x）=0解得的解集不一定關于原點對稱，故函數y=f（x）不一定是偶函數；
反之由q：y=f（x）是偶函數，可能f（x）=0，故不一定有

f(-x)

f(x)

=1．故p是q的既不充分也不必要條件；
③若α=β=

π

2

，則cosα=cosβ，但是tanα與tanβ都不存在；由tan(π+

π

6

)=tan

π

6

，但是cos(π+

π

6

)≠cos

π

6

．故p是q的既不充分也不必要條件；
④由A∩B=A，得A⊆B，∴?_UB⊆?_UA；反之，由?_UB⊆?_UA，可得A⊆B，∴A∩B=A．故④正確．故p是q的充要條件．
綜上可知：p是q的充要條件的命題序號是①④．
故答案為①④．

點評：熟練掌握二次函數的零點與判別式的關系、函數的奇偶性、三角函數的誘導公式及集合間的關系是解題的關鍵．