Question

一個(gè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)之和是2ⁿ-b，那么它的前n項(xiàng)的各項(xiàng)平方之和為（　　）

• A、（2ⁿ-1）²
• B、

  1

  3

  （2ⁿ-1）
• C、4ⁿ-1
• D、

  1

  3

  （4ⁿ-1）

Answer 1

分析：設(shè)該等比數(shù)列為{a_n}，前n項(xiàng)和為S_n=2ⁿ-b，求出數(shù)列的前3項(xiàng)，利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得關(guān)于b的方程，解出b可求得a_n，易判斷數(shù)列各項(xiàng)的平方仍構(gòu)成等比數(shù)列，從而可求得答案．

解答：解：設(shè)該等比數(shù)列為{a_n}，前n項(xiàng)和為S_n=2ⁿ-b，
則a₁=2-b，a₂=S₂-S₁=2，a₃=S₃-S₂=4，
∴2²=（2-b）×4，解得b=1，
∴該數(shù)列的首項(xiàng)為1，公比為2，
∴an=2n-1，則an2=22n-2，
又

an+12

an2

=

22n

22n-2

=4（常數(shù)），
∴{an2}是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列，
∴原等比數(shù)列的前n項(xiàng)的各項(xiàng)平方之和為：1²+2²+4²+…+2^2n-2=

1-4n

1-4

=

1

3

(4n-1)，
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，熟記相關(guān)通項(xiàng)公式、求和公式是解決問題的關(guān)鍵．