Question

某公司為了實現1000萬元利潤的目標，準備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：在銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金y（單位：萬元）隨銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎金總數不超過5萬元，同時獎金不能超過利潤的25%．現有三個獎勵模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，分析與推導哪個函數模型能符合該公司的要求？并給予證明．（注：1.002⁵⁰⁰≈2.7）

Answer 1

分析：由題意，符合公司要求的模型只需滿足：當x∈[10，1000]時，①函數為增函數；②函數的最大值不超過5；③y≤x•25%，然后一一驗證即可．

解答：解：函數f1(x)=0.25x，f3(x)=1.002x在[10，1000]內單調遞增，且f₁（1000）=250，f3(1000)=(1+0.002)1000=[(1+0.002)500]2≈2.72=7.29，兩者都大于5萬元，因而第一、三兩個模擬函數顯然不符合公司要求．…（3分）
而對于函數f₂（x）=log₇x+1，函數在[10，1000]上也是單調遞增的，而且f2(1000)=log71000+1＜log774+1=5，因而符合第一個要求；…（6分）
下面再考慮

y

x

=

log7x+1

x

≤0.25是否在[10，1000]上恒成立．
令f(x)=log7x-

1

4

x+1，x∈[10，1000]，
則f′(x)=

1

x

log7e-

1

4

≤

1

10

log7e-

1

4

＜

1

10

-

1

4

＜0，
從而fmax(x)=f(10)=log710-

3

2

=

3

2

(log343100-1)＜0，則f（x）＜0．
即

y

x

=

log7x+1

x

≤0.25成立，因而符合公司的第二個要求．
綜上所述，只有模型y=log₇x+1能符合公司要求．…（12分）

點評：本題以實際問題為載體，考查函數模型的構建，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．